14 - Les composantes trichromatiques du CIE-XYZ

Construire l'espace XYZ c'est avant tout connaitre les composantes trichromatiques X, Y et Z.



Fig.1. La courbe spectrale déborde largement du cube RGB.


Pour clarifier la procédure, je vous propose d'aborder la transformation CIE-RGB vers CIE-XYZ en trois étapes distinctes. Nous avons déjà franchi la première étape dans le chapitre 13 avec le positionnement des coordonnées x, y et z. La deuxième étape, l’objet de cet article, consiste à décrire les composantes trichromatiques XYZ en fonction des composantes trichromatiques RGB. Enfin, la dernière étape, traitée dans l’article suivant, consiste à standardiser le niveau de luminance  produit par ces nouvelles composantes trichromatiques.

Nous partons des équations que nous avons obtenu dans l’article précédent. Nous sommes toujours dans le diagrmme rg, il est donc normale que nous ayons des coordonnées négatives :


1 - Extraction des composantes trichromatiques XYZ

Ces trois équations nous renseignent précisément sur la chromaticité des nouvelles primaires, mais aussi sur le niveau de luminance développé dans le futur cube 0XYZ. Les développeurs avaient décidé à l'époque de normaliser ce niveau de luminance pour le ramener à celui de CIE-RGB. Pour simplifier la lecture de l’article, nous allons dans un premier temps ne pas tenir compte de cette normalisation de luminance. Nous traiterons en détail du niveau de luminosité de l’espace XYZ dans l’article suivant. La demonstration n'en sera que plus claire d'autant plus que cela mettra bien en évidence la différence entre une équation colormétrique sujette à suspiscion et une équation algébrique fiable.  



L’équation colorimétrique (14.2) exprime le rapport entre les primaires [R] [G] [B] et les nouvelles primaires [X] [Y] [Z]. Nous allons voir que la transformation CIE-RGB vers CIE-XYZ ne doit pas s’appuie pas sur un rapport de primaires, mais sur un rapport de composantes trichromatiques. Ce concept n’étant pas très intuitif, il est développé en détail dans l’article 2 "La théorie du modèle RGB". Afin de clarifier l'article les équations colorimétriques sont écrites dans leur graphie officielle.

Fig. 2. Représentation du cube généré par l’équation (14.2).

La loi de Grassmann nous apprend qu'on peut décrire toute couleur C dans l’espace CIE-RGB par une équation qu’on nomme équation colorimétrique. Elle correspond à la superposition additive des trois primaires et prend la forme :

L'équation (14.2) est une équation colorimétrique et du même type que l'équation (14/3) car elles font intervenir des primaires. Ici, le signe "égale chapoté" ne signifie pas qu’il y a égalité dans les compositions spectrales, mais seulement  une concordance visuelle. Pour obtenir des équations qui comportent uniquement des composantes trichromatiques, nous allons nous débarasser de la présence des primaires [R], [G], [B]. Nous auront finalement des équations algébriques sans ambiguïté.

On peut décrire la couleur C de l'équation (14.3 ) dans l’espace XYZ en utilisant  une équation colorimétrique :

Nous pouvons maintenant substituer dans l’équation (14.4) les primaires [X] [Y] [Z] par la superposition additive des trois primaires [R] [G] [B] telles qu’on les a exprimées dans les équations (14.2).


En rapprochant les composantes d’une même primaire et en réorganisant les parenthèses, on obtient finalement :


Nous pouvons désormais extraire les composantes trichromatiques R, G et B exprimées en fonction des composantes trichromatiques X, Y et Z.


On s'est débarassé de la présence des primaires [R],  [G] et  [B]. Les composantes R, G et B sont décrites d'après les composantes X, Y et Z.

Puis par une simple inversion, nous obtenons les composantes X, Y et Z en fonction des composantes RGB :
Cette équation exprime l'expansion réelle du nouveau système et de son niveau de luminance.
La CIE a choisi de standardisé son niveau de luminance pour le ramener équvalent à celui de l'espace CIE-RGB. La méthode est décrite dans l'article suivant.


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